HARVARD UNIVERSITY.

LIBRARY

OF THE

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÖLOGY. e 12,22 7

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) Lay 12, 1904 a 1905.

BULLETIN INTERNATIONAL DÉPACADEMIE DES SCIENCES

DE CRACOVIE.

CLASSE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET NATURELLES.

L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE CRACOVIE A ETE FONDÉE EN 1873 PAR

S. M. L'EMPEREUR FRANÇOIS JOSEPH I.

PROTECTEUR DE L'ACADÉMIE :

S. A. I. L'ARCHIDUC FRANÇOIS FERDINAND D’AUTRICHE-ESTE.

Vice-PROTECTEUR : S. E. M. JuziEN DE DunAjEwsKki.

Pr&sınent: S. E. M. LE COMTE STANISLAS TARNOWSKI.

SECRÉTAIRE GÉNÉRAL: M. BoLESLAs ULANOWBKI.

EXTRAIT DES STATUTS DE L'ACADÉMIE:

($ 2). L'Académie est placée sous l’auguste patronage de Sa Majesté Impériale Royale Apostolique. Le protecteur et le Vice-Protecteur sont nommés par S. M. l'Empereur.

($ 4). L'Académie est divisée en trois classes:

a) classe de philologie, &) classe d'histoire et de philosophie, c) classe des Sciences mathématiques et naturelles. ($ 12). La langue officielle de l'Académie est la langue polonaise.

Depuis 1885, l'Académie publie, en deux séries, le „Bulletin international“ qui paraît tous les mois, sauf en août et septembre. La première série est consacrée aux travaux des Classes de Philologie, d'Histoire et de Philosophie. La seconde est consacrée aux travaux de la Classe des sciences mathématiques et naturelles. Chaque série contient les procès verbaux des séances ainsi que les résumés, rédigés en fran- çais, en anglais, en allemand ou en latin, des travaux présentés à l’Académie.

Le prix de l'abonnement est de © k. = 8 fr. Les livraisons se vendent séparément a 80 h. = 90 centimes.

Publié par l’Académie sous la direction de M. Léon Marchlewski, Membre délégué de la Classe des Sciences mathématiques et naturelles.

Nakladem Akademii Umiejetnoéci.

Krakôw, 1905. Drukarnia Uniw. Jagiell. pod zarzadem Jôzefa Filipowskiepu

| BULLETIN INTERNATIONAL DE L’ACADEMIE DES SCIENCES

DE CRACOVIE.

CLASSE DES SCIENCES MATHEMATIQUES ET NATURELLES.

ANZEIGER

DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN

IN KRAKAU.

MATHEMATISCH - NATURWISSENSCHAFTLICHE CLASSE.

ANNEE 1904.

CRACOVIE IMPRIMERIE DE L'UNIVERSITE 1905

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7

Table des matlères.

L. Natanson. Sur une particularité de la double réfraction accidentelle dans les liquides pouvant servir à la détermination de leur temps de relaxation B Se

Ed. de Janezewski. En pres ER koseiliärs It | (Ribes) NEN:

L. Wachholz et S. Horoszkiewiez. Etudes expérimentales sur le méca- nisme physio-pathologique de la submersion OL re oe

Ch. Dziewonski. Synthèse d'un nouvel hydrocarbure aromatique: phény- lacenaphtylmethane . ah: À ete

I. Moseicki. Etudes sur la résistance des anne e -

I. Moseicki et M. Altenberg. Sur les pertes diélectriques dans les Sinden: sateur soumis à l’action des courants alternatifs de -

C. Zakrzewski Sur la position des axes optiques dans les liquides ne SORTIR CNE MEN A Eee IE AR MERE ET eher

M. Lerch. Sur quelques applications d’un théorème arithmétique de Jacobi

K. Kostanecki. Etude cytologique de la parthénogénèse artificielle des oeufs de Mactra sous l'influence de K CI. ER:

F. Tondera. Sur la structure interieure des sarments de Vigne Ms

S. Zaremba. Réponse aux remarques de M. Natanson sur la theorie de la relaxation AA Lo PU : De rc 3

L. Natanson. Remarques sur les travaux de 1. Zara relatifs à la héo- rie de la double réfraction accidentelle dans les liquides

E. Godlewski. Nouvelle contribution à l'étude de la respiration intramo-

leeulaire des plantes . . 5 - EE c E. Bandrowski et Al. PER Opens. De action En Denen) sur Passy benzol en présence du chlorure d'aluminium . . AR Fe

H. Zapalowiez. Remarques critiques sur la flore de la Galicie

T. Garbowski. Sur la transplantatiom blastomérique chez les oursins . .

T. Estreicher. Détermination des chaleurs de vaporisation de l'oxygène et du bioxyde de soufre ROM 2: et Es

M. Limanowski. Sur la découverte d’un lambeau de recouvrement subta- trique dans la région hauttatrique de Gladkie (monts Tatra)

Page

VI

K. Dziewonski. Synthèse d’un nouvel hydrocarbure aromatique tribezyldé- cacyelene (tribenzyltrinaphtylènebenzène), et d’un dérivé du thiophène : dibenzyldinaphtylenethiophene ; &

Sur la constitution du $ B'phezylaesuapkiyimethane et sur la constitu- tion de ses derives on l'acide G- benzylnaphtalique et l’acide 3-benzoylnaphtalique a ee DAT RS 5

. Wize. Pseudomonas ucrainicus, une baeteridie insecticide, trouvée dans la larve du charançon des betteraves à sucre

Séance publique annuelle du 18 mai 1904 = RERO se ©

J. Hetper et L. Marchlewski. Recherches sur la matière a du sang

H. Hoyer. Sur les coeurs lymphatiques des grenouilles EG >

T. Godlewski. Sur la dissociation des eleetrolytes dans les solutions alco- oliques à

L. Marchlewski. L'identité Brohakle ms a Dhylberythrine et a8 ï hole haematine SE un.

W. Stekloff. Addition. au manner „Sur la theorie des series trigonome- triques“ AR ATH s MEN aie SE e

J. Stach. Sur les changements de dentitions et sur la genèse des dents molaires chez les mammifères N Le ERNST EL

St. Droba. Recherches sur l'infection mixte de la tuberculose pulmonaire et sur la participation des anaérobies à celle-ci ER

H. Zapalowiez. Revue critique de la flore de la Galicie. II partie

R. Nitsch. Expériences sur la rage de laboratoire (virus fixe)

St. Maziarski. Coatribution à l’etude de la relation du noyau avec le pro- toplasme cellulaire OEM RL TR =

M. Kowalewski. Études tolé ques vu. Sur un nouveau ténia: atria biremis, gen. nov., sp. nov. BR N A

M. Smoluchowski. Sur la formation des veines d’efflux dans les liquides

St. Loria. Recherches sur la vision oblique 2 ;

H. Zapalowiez. Revue critique de la flore de Galicie. 11 Dune 5 0 J. Buraczewski. et L. Marchlewski. Recherches sur matière colorante du sang . - © ; STONE : -

J. Nusbaum. Recherches sur da régénération de quelques PU Cbtes

L. Bykowski et J. Nusbanm. Contributions à la morphologie du téléostéen parasite Fierasfer Cuv. en UE MORTE Le 2

W. Gadzikiewiez. Sur la structure Kistelopidar du coeur chen les Graka ces décapodes . RUN Re PATES MERE

A. Wrzosek. Recherches sur le passage des microbes En sang dans la bile dans les condictions normales RER TP OS OETRE

A. Denizot. Sur la théorie du mouvement relatif avec une application au pendule de Foucault et au problème du mouvement d’un corps à la surface terrestre, en ayant égard à la rotation de la terre 4

J. Morozewiez. Sur la béckélite, un céro-lanthano-didymo-silicate de caleium

E. Godlewski. Recherches expérimentales sur l'influence du système nerveux sur la régénération

Page

IN 19 D ve x

I © © Rn

PS

L. Marchlewski. L'identité de la phylloerytrine, bilipurpurine et la chole- haematine EN RE CON TE

C. Kraft et C. Zakrzewski. Une méthode pour déterminer les directions principales et les constantes optiques dans le cas de la biréfringence combinée avec le pouvoir rötatoire

VI. Kulezynski. Fragmenta arachnologiea TE Et Po

R. Nitsch. Experiences sur la rage de laboratoire (virus fixe). II partie

C. Wize. Les maladies du Cleonus punctiventris Germ. causees par des cham- pignons entonaophytes en insistant particulièrement sur les espèces nouvelles PL Re CURE RP ARRET CR ER

St. Opolski. Sur l’action du chlore et du brome sur homologues du thio- phène sous linfluence de la lumière et de la chaleur

M. Szymanski. Contribution à l’helminthologie

Table des matières par noms d'auteurs

Errata .

VII

Page

713

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MAY 12 1904

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| BULLETIN INTERNATIONAL DE L’ACADEMIE DES SCIENCES

DE CRACOVIE.

CLASSE DES SCIENCES MATHEMATIQUES ET NATURELLES.

ANZEIGER

DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN

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MATHEMATISCH -NATURWISSENSCHAFTLICHE CLASSE.

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CRACOVIE IMPRIMERIE DE L'UNIVERSITÉ 1904.

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L’ACADEMIE DES SCIENCES DE CRACOVIE A ETE FONDEE EN 1872 PAR PA

S. M. L'EMPEREUR FRANÇOIS JOSEPH 1. d-

PROTECTEUR DE L' ACADÉMIE : S. A. I. L'ARCHIDUC FRANÇOIS FERDINAND D’AUTRICHE-ESTE.

Vice-PROTECTEUR : S. E. M. JuziEN DE- DunAJEwsKt.

Pr&sınpent: M. LE coMTk STANISLAS TARNOwSKI.

SECRÉTAIRE GÉNÉRAL: M. BoLESLAs ULANOwWSKkI. F EXTRAIT DES STATUTS DE L'ACADÉMIE: ($ 2). L'Académie est placée sous l’auguste patronage de Sa Majesté Impériale Royale Apostolique. Le protecteur et le Vice-Protecteur sont nommés par S. M. 7 l'Empereur. = ($ 4). L'Académie est divisée en trois classes: eg a) classe de philologie, (dé 5) classe d'histoire et de philosophie, - | c) classe des Sciences mathématiques et naturelles. ($ 12). La langue officielle de l’Académie est la langue polonaise. Depuis 1885, l'Académie publie, en deux séries, le „Bulletin international‘ qui paraît tous les mois, sauf en août et septembre. Le première série est consacrée aux travaux des Classes de Philologte, d'Histoire et de Philosophie. La seconde est consacrée aux travaux de la Classe des sciences mathématiques et naturelles. Chaque série contient les procès verbaux des séances ainsi que les résumés, rédigés en fran- gais, en anglais, en allemand ou en latin, des travaux présentés à l’Académie. => Ne Le prix de l’abonnement est de 6 k. = 8 fr. = > = La >

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Les livraisons se vendent séparément à 80 h: = 90 centimes.

Publié par l’Académie sous la direction de M. Léon Marchlewski, Mebre délégué de la Classe des Sciences mathématiques et naturelles. Cie

Nakladem Akademii Umiejetnoéci. Kraköw, 1904. Drukarnia Uniw. Jagiell. pod zarzadem Jözefa Filipowskiego.

MAY 12 1904

BULLETIN INTERNATIONAL DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE CRACOVIE.

CLASSE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET NATURELLES. 1. Janvier 1904.

Sommaire: 1. M. LADISLAS NATANSON. Sur une particularité de la double réfraction accidentelle dans les liquides pouvant servir à la détermination de leur temps de relaxation.

2. M. Ed de JANCZEWSKI. Hybrides des groseillers II. (ltibes).

3. MM. L. WACHHOLZ et S. HOROSZKIEWICZ. Etudes expérimentales sur le mécanisme physio-pathologique de la submersion.

t. M. CH. DZIEWONSKI. Synthèse d’un nouvel hydrocarbure aromatique: phénylacénaphtylméthane.

5. M. I. MOSUICKI. Etudes sur la résistance des diélectriques.

6. MM. I. MOSCICKI et M. ALTENBERG. Sur les pertes diélectriques dans les condensateurs soumis à l'action des courants alternatifs.

7. M. CONSTANTIN ZAKRZEWSKI. Sur la position des axes optiques dans les liquides déformés.

Séance du lundi Il Janvier 1904. Présinexce DE M. E. GODLEWSKI.

1. M LADISLAS NATANSON m. t. O pewnej wlasciwosci podwöjnego za- lamania Swiatla w cieczach odksztalcanych, mogacej posltuzyé do wy- znaczania ich czasu zluzniania. (Sur une particularité de la double réfraction accidentelle dans les liquides pouvant servir à la détermination de leur temps de relaxation).

On se sert habituellement de la méthode suivante pour étudier la double réfraction accidentelle dans les liquides. Imaginons un cylindre qui peut être mis en rotation autour de son axe. A une distance assez faible de sa surface, imaginons une paroi cylindrique immobile, centrée sur le même axe. L'espace annulaire limité par la surface du cylindre et la paroi immobile est rempli du liquide que l’on désire étudier. Un faisceau de lumière, se dirigeant paral- lèlement à l’axe de rotation, traverse le liquide et sert à étudier la double réfraction qui se produit dans les conditions précédentes. Tel. en peu de mots, est le principe de l'expérience imaginée par Maxwell!); le même principe a été adopté ensuite par Kundt?)

1) Procedings Roy. Soc., Nr. 148 (1873), Scientific Papers, Vol. Ip 379:

?) Wiedemann’s Annalen, Bd. XII, S. 110 (1881).

Bulletin III. I

ainsi que par la majorité des savants qui ont exécuté des expé- riences précises sur la double réfraction accidentelle dans les li- quides !).

Au cours des études auxquelles nous venons de faire allusion, Kundt a découvert un phénomène extrêmement remarquable. Soit

la’

Pig. 1. aa‘ (Fig. 1) le plan des vibrations du polariseur, bb’ le plan des vibrations de l’analyseur qui sert à l'expérience. Pour certains li- quides, par exemple l’huile d'olive, l’huile de lin, les mélanges d’huile d'olive avec le pétrole, les maxima d’obseurité observables étaient

Fig. 2. Fig. 3.

situés comme l'indique la fig. 1; on voyait le rayon Oc correspon- dant au maximum c du quadrant bOa faire un angle de 450 avec la demidroite Ob. Dans ce qui va suivre. nous designerons par y l'angle bOc; nous dirons done que, d’après les observations de Kundt, l'angle 7. pour certains liquides, est sensiblement égal

1) MM. G. de Metz, K. Umlauf, J. E. Almy, Bruce V. Hill (voir Bull. Int. de l’Acad. d. Sc. de Cracovie, Cl. d. Se. Math. et Nat., pour 1901, p. 162.)

S

(S!

à 450. Il en diffère dans le cas de certains autres liquides, par exemple le eollodion et les solutions de gomme arabique. On peut résumer de la manière suivante les observations de Kundt rela- tives à ces liquides: à une rotation du cylindre intérieur s’effee- tuant ainsi que l'indique la fig. 2. correspond une valeur de l'angle x supérieure à 450; à une rotation du cylindre intérieur ayant lieu dans le sens opposé (ainsi que l'indique la fig. 3.) correspond une valeur de l'angle x inférieure à 45°. Pour le collodion, par exemple, la rotation ayant lieu comme l'indique la fig. 2. langle x a été trouvé égal à environ 65° (voir à la page 123 du Mémoire cité).

L’explication du phénomène que nous venons de décrire a été donnée. en principe, par M. Th. Schwedoff!). Dans cette Com- munication nous nous proposons de déterminer par le calcul la valeur de l'angle 7. On verra par la suite que la détermination expérimentale, pour certains liquides, de la valeur exacte de cet angle pourrait jouer un rôle important dans l'étude du phénomène fondamental de la relaxation.

$ 1. Commencons par rappeler certains théorèmes se rapportant à la déformation homogène d'un milieu, théorèmes qui nous seront utiles dans la suite de ce travail. Soient A et B deux points ma- tériels faisant partie du milieu. Nous rapporterons le milieu primitif ainsi que le milieu déformé à un système d’axes rectangulaires. d'orientation fixe. dont l'origine coïncide constamment avec la po- sition occupée par le point À du milieu. Soit M la position du point B avant la déformation et x,, y,, 2, les coordonnées de la position M par rapport au système d.ryz que nous venons de définir; soit N la position du même point B après la déformation; appelons &y, Yx, 2, les coordonnées de la position N, dans le même système d’axes Axyz. Imaginons que le milieu éprouve une déformation que définissent les formules

dy = (1 + a.) u 4,,Yu (1a) YN = Ay Lu + (1 +4) Yu (1b) TL EF, (le)

les coefficients « étant des constantes. Nous pourrons supposer, sans que la généralité du raisonnement en souffre, que les positions oe- cupées par le point B se trouvent toujours dans le plan Axy.

1) Journal de Physique (3) Vol. I., p. 49. 1892. 1*

A l'effet d'éviter toute ambiguïté, supposons qu'un observateur ayant les pieds en 4 et la tête en z, voie le mouvement de rota- tion qui, dans le quadrant Axy. se dirige de l’axe des x vers celui des y, s'effectuer dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre. La déformation précédente (1) une fois effectuée, imaginons que l’on imprime au milieu une rotation d'ensemble autour de l'axe 42; les axes dx et Ay ne participent pas à cette rotation. Soit @ l'angle de rotation; pour sens positif de cet angle nous prendrons le sens opposé à celui dans lequel tournent les aiguilles d’une montre pour un observateur ayant les pieds en A et la tête en 2. Appe- lons P la position en laquelle la rotation amène le point B du mi- lieu; nous aurons

(2a) LP —=(1 + b,.) 21 —b,,ys 5 (2b) Y= by ty + (14 b,)Yx et a | 1+b,,— cos a ; b,,—=— Sin @ | Da Stube ME D PRNICOS GE

La composition des deux déformations consécutives (1) et (2) s’effec- tue au moyen des formules

(4a) Lp = (14 Cu) Ly + Cy Yu

(4b) Yp Cr &u (1 EC) Yu

l’on a

(Da) 1+0.=(l+a)1+b)+ 4.5,

(Bb) Coy = Axy (1 À Dis) _. (1 + a,)b,,

(de) cu = (1-4, 0, a.(1 + b,,)

(bd) 1+c,—={1—+a,)(1+b,) + a, b,.

Introduisons maintenant, à côté du système d’axes Axyz dont les directions sont fixes, un second système d’axes de coordonnées AËnË et imaginons que le système A&n{ participe à la rotation du milieu. Nous supposerons que l’axe AZ coïncide constamment avec l'axe Az et que la disposition des axes et An par rap- port à AL est identique à celle que nous avons attribuée aux axes Az et Ay par rapport à Az. Soit p l'angle que fait, à une certaine époque ft, l'axe avec l'axe Ax; nous prendrons pour sens po- sitif de cet angle le sens opposé à celui dans lequel tournent les

aiguilles d’une montre pour un observateur ayant les pieds en A

et la tête en 2. Soient £,, 7, les coordonnées de la position 1/ par

rapport au système ÀË%7; nous aurons:

= : Pr Er -

Eu Lucosp— y,„sinp (ba); Lu —E,C0sP—Nn,sinp (Ta)

Qu——Lysinpy,cosp (6b); Yu = Ex Sin P—-Y,Cosp. (7b)

Les axes et An participent à la rotation du milieu; désignons

done par A& et An’ les directions que prennent ces axes à une

époque # postérieure à f et soit p’ l'angle (compté comme l'angle q) ; Eee B

que fait la direction A&’ avec l'axe Ax; nous aurons:

4

Sen

P— æCosp—+y,.sinp (Sa); Tp— EL COS p 7/Sinp (9a) Nr = —%sinp—y,cosp (8b)}; y, —=E,sinp Ey,.cosp (9b)

et

p—p—u«. (10)

Posons Er GE) Eu AE Mu (11a) ; N Ay Eur (= a) x; (11b)

les coefficients arz etc. pourront se calculer au moyen des formules suivantes qui se deduisent sans peine des équations (8), (4). (7) et (11): 1+az;: = (1—+ 6.) cos p cos’ + «., sin cos p’ €, cos sin g (1—+ec,,) sin gsingp (12a) an = (1 +.) sin y cos p’ + c,, cos p cos p' („sin psinp’— (1—+c,)eospsinp’ (12b)

I

(1 + «..) cos p sin 9 c,, Sin p sin p’ + Gy cos p cosp' +(1+c,)sinpcosp (12e)

ur

1 4,n =(1- ©.) sin p sin’ e,, cos p sin p’ („Sing cosp'—-(1—+-c,)cospcosgp’‘. (12d) Des équations (3) et (10) il résulte 1+b,„=1-b,= cospcosg +sinpsny | 12 be —= —b,,—=— sin p cos p + cos p sin p | (a)

Dans les équations (12) portons les valeurs des coefficients 1e, ete. que l’on tire des équations (5) et (13); nous trouverons:

6

(14a) 1--are=(1--4,,)e0s’p-+-(a,,t+a,)sinpeosp+-(1--a,)sin?p

(145) ar y—= (1 + a.) sin p cos p + a., cos? p a, sin? p —-(1—- a,,) sin p cos p (140) ay:— =" (1 + a.) sin p cos p à,,sin?p + a,,C08"@p

(1 a,,) sin p cos p (14d) 7+a,,„—=(14a,)sin®p (a, +-4,)sin peosp-+(1-}a,)cos?p

On voit que les équations (14) se déduisent des équations (12) en posant @—=0; il était aisé de prévoir a priori que cela devrait arriver.

Les équations (5) et (3) permettent de vérifier facilement que l’on a:

(15) papa 6 En ECC

par conséquent nous pouvons poser

(16a) d+a.) +a?—1=(1 +) + —1=28&*

et de même

(16b) + (Ha) = 1e LE + 0%. —1=de: (16e) (1 be 5 da) ic) ee ee) Avec ces notations, les équations

(17) AN y, AP? ty É deviennent [voir (1) et (4)]

(die) AN = Ar AMOR RE PRET rer)

l’on désigne par / et m les cosinus des angles que fait avec les axes des x et des y la direction AM. Si l'on pose

(19a) (1 arr) Ani° = DE (19b) Be ae 1=2e,* (19e) (de wer) RP en

et si l’on désigne par A et u les cosinus des angles que fait la direction AM avec les axes et An, on trouve également

(20) AN? AP? AM°{1 REA eu by Au)};

c'est ce que l’on vérifie aisément en s'appuyant sur les équations (11).

Nous dirons que les quantités &,*, &,*. y,* sont les composantes

de la déformation du milieu rapportée aux axes fixes 4x7 et que les quantités &g*. &,*. y:,* sont les composantes de la même dé- formation rapportée aux axes mobiles À £ 7.

Dans les équations (19) portons les valeurs des quantités 1 az: etc. données par les équations (12); nous aurons, en tenant compte

des égalités (16):

&* —e* cos? q + &,* sin? p + y.* sin g cos (21a) EEE NE SEEN ARR D An net = 19

en" —€* sin? + &,* cos? p y." Sin p COS P (21b) NE CHR Ur lg En - Salz

Yen (& e*) sin 2p + y, cos 2. (21c)

Les équations (21) peuvent d'ailleurs s'écrire de la façon suivante:

EX = er cos? p—+ e,* sin? Ye)" Sin cos p (22a) &* —e;* sin —+e,*cos®p—+-yr7 Sin pcosp (22b) EL * ren | PT zu DD Ya —(&* €,*)sin2p y: cos 2. (22c)

$ 2. Nous sommes maintenant en mesure d'étudier le phéno- mène observé par Kundt et décrit dans lintroduetion. Convenons de prendre pour axe des + l'axe de rotation des cylindres; sup- posons qu'un observateur, ayant les pieds en O et la tête en 2, voie le mouvement de rotation qui dans le quadrant Oxy se dirige de l'axe des x vers celui des y, s'effectuer dans le sens opposé à celui des aiguilles d'une montre. Dans la suite, nous aurons à in- troduire. à côté du système ry+, des systèmes différents d’axes de coordonnées; désignons-les, d'une façon générale, par £nd. Nous supposerons toujours, dans de pareils cas, que l'axe des Ê coïncide avec l'axe des 2 ou lui est parallèle, que le plan £y coïncide avec le plan æy et que la disposition des axes des & et des 7 par rap- port à l'axe des £ est la même que la disposition des axes des x et des y par rapport à l'axe des 2.

Nous adopterons les hypothèses suivantes au sujet du mouve- ment que la rotation des eylindres, supposée uniforme, communique aux particules du liquide: chaque particule décrit une trajectoire cireulaire dont le plan est perpendiculaire à l'axe des 2 et dont le centre se trouve sur cet axe; la vitesse d’une particule ne dépend que du rayon du cercle sur lequel elle se déplace; elle ne dépend pas du temps {; nous dirons done que le mouvement du liquide est permanent. Pour déterminer le sens de la rotation du liquide par rapport aux axes, nous admettrons, une fois pour toutes. qu'un

8

observateur, ayant les pieds en 0 et la tête en 2, voie les parti- cules se déplacer dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre. La rotation du liquide, dans le quadrant Oxy. se dirigera done toujours de l'axe Ox vers l'axe O y.

Nous admettrons !) l'hypothèse que nous avons énoncée (en 1901) à savoir: les phénomènes de la double réfraction accidentelle, dans les liquides, doivent être attribués à la déformation que nous avons appelée la déformation véritable. Imaginons que l’on ait con- struit, en chaque point du liquide soumis à l'expérience, les axes principaux de la déformation véritable et proposons-nous de déterminer la position des maxima d'obscurité dans le cas des figures 2. et 3. de l’introduction. Il est clair que ces maxima co- incident nécessairement avec les points du liquide pour lesquels les axes principaux de la déformation véritable se dirigent paral- lelement aux droites bb. a’a de ces figures. Nous conformant aux conventions précédemment arrêtées nous disposerons les axes des x et des y de la facon suivante:

(Ja) Ox 0b, Oy 0a dans le cas de la fig. 2: (1b) Ox 0a, Oy— Ob dans le cas de la fig. 3.

Soit A la position du maximum d’obseurit@ que l’on observe dans le quadrant Oba; nous pouvons supposer que le point A se trouve dans le plan Oxy. Designons par r la distance du point A à l'axe de rotation comptée à partir de cet axe; par AX et AY désignons les directions des axes principaux de la déformation véritable issus du point A. Il est clair que l'axe AZ est parallèle à l'axe des 2. Si l’on se reporte à ce qui a été dit plus haut sur la disposition des axes. dans le cas actuel des axes AX et AY par rapport à AZ, et si l'on se souvient du eriterium qui détermine la position des maxima d’obseurite, on verra sans peine que l’angle x (défini dans l'introduction) est égal à

(2a) PU dans le cas de la fig. 2. (2b) 4 900 y dans le cas de la fie. 3,

en designant par # l'angle que fait la direction du rayon » avee

') Dans ce qui suit, nous ferons abstraction des effets de polarisation rotatoire que pourrait présenter le liquide soumis A l'expérience de Maxwell et de Kundt.

l'axe AA; cet angle sera compté positivement ou négativement d’après la règle adoptée plus haut, au $ 1. Par le point consi- dere À, faisons passer un axe Ag dont la direction est celle de la vitesse de la particule du liquide qui. à l'époque donnée, occupe la position A. Considérons le système Ar, Ag comme un nouveau système d’axes de coordonnées auquel nous rapporterons la défor- mation véritable du liquide au point considéré. Si l’on se rapporte aux conventions précédentes, on s'assure aisément que le système Arg vérifie les conditions requises, en supposant que l'axe des 7 corresponde à celui des x et l’axe des g à l’axe des y. Soient &,*. £* et y,* les composantes de la déformation véritable au point considéré, rapportée au système Arg d’axes de coordonnées; soient ex". €-* les deux composantes de la même déformation, rapportée aux axes principaux AN, AY; on verra aisément avec un peu d'attention que les formules (21) du $ 1. sont applicables dans le cas actuel; les quantités &,*. &,* et O se transforment, au passage du système AXY au système Arg, suivant une loi identique à celle suivant laquelle se transforment, d’après les formules citées, les quantités &,®, &,*, y,* au passage du système Axy au système A&n. Par conséquent nous aurons:

& —e,* cos? y &,* sin? y (3a) —e,* sin? y 4 8,* cos? (3b) Ya = (&* €,*) sin 2w. (3e)

Ces équations nous donnent

cote 2 y =. à (4)

y drq

par conséquent les relations (2) permettent d'écrire

en convenant de choisir le signe supérieur dans le cas du mou- vement du liquide que représente la fig. 2. et le signe inférieur dans le cas que représente la fig. 3. de l'introduction. L'équation 5) est celle que nous nous proposions d'établir dans ce paragraphe.

$ 3. On peut arriver au même résultat en suivant une voie différente; nous l’indiquerons iei rapidement. Désignons par 4 l'angle que fait la direction À X avec l'axe des ı et convenons d'attribuer

10

à cet angle une valeur positive ou négative en nous conformant à la règle adoptée au $ 1. Au passage du système AXY au sys- tème Azy les composantes &,*, &,*, 0 de la déformation se trans- forment suivant une loi identique à celle suivant laquelle, d’après les formules (22) du $ 1. se transforment les composantes er*, €, *, 27° au passage du système A5n au système Azy. Les formules

(22) du $ 1. deviennent done dans ce cas

(la) E* e* cos? à 8,* sin? à (1b) E e,* sin? 9 e,* cos’ d (1e) Y = (& &*)sm2%,

d'où l’on tire

(2) cote 2 à

Soit 4 l'angle que fait le rayon 7 avec l'axe Ox; nous donnerons à cet angle des valeurs positives ou négatives d’après la règle adoptée plus haut. On aura

(3a) 42—=0— dans le cas de la fig. 2. (3b) 4 = 900 (0 9) dans le cas de la fig. 5. et

(4) eotg 2 y + cotg 2(0— +)

en convenant de choisir le signe supérieur dans le cas du mou- vement du liquide indiqué dans la fig. 2. et le signe inférieur dans le cas représenté dans la fig. 3. Jointe à l'équation (2). l'équation (4) permet d'écrire

Er ei &,) cos 2 0 Ser sin 20).

(&® &*) sin 20 y, cos 2 0 ?

dry

(5) cote 2 4

le signe du second membre de cette équation doit être déterminé de la façon précisée plus haut.

Imaginons que l’on passe du système Arg au systeme Axy d’axes de coordonnées. En nous appuyant sur les formules (22) du $ 1, nous trouverons

(6a) & &* cos? 0 LE &,* sin? 0 y,,* sind cos 6 (6b) 6, sin? 0 L 8 cos? 0 + y,,* sind cos 0

(6e) Va = (&* &*)sn 20 + y, cos 2 0.

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De on déduit

LS APR €") COS 20 + y,

(es

(&* &,*) sin 20 y,“ cos 20— y,*; (7b)

sin 20 &,Ÿ & (7a)

si, dans l'équation (5), on porte ces valeurs du nuniérateur et du dénominateur du second membre, on retombe immédiatement sur le résultat qui a été établi au paragraphe précédent par une voie plus directe.

$ 4. Conservons aux lettres q et 0 la signification que nous leurs avons attribuée et désignons par u et » les composantes, pa- rallèles aux axes Ox et Oy, de la vitesse g. Nous aurons

u— —gsın 6 (la) v —+ q cos 6; (1b) ces équations seront vraies dans les deux cas opposés qui peuvent

se présenter. Soit À une fonction quelconque des variables 7, 6; on s'assure sans peine que l'on a

OF 9 or" sin 0 IR een (24) OF E OF cos 0 2F np (2b) ©) } 20

Jointes aux équations (1). les équations (2) permettent de calculer les composantes (rapportées aux axes des x et des y) de la vitesse apparente de déformation. Eiles ont les valeurs suivantes:

ou dq q A Ei a5 enge (5 Fur ) sin 20 (3a) dv ( ee (ur, )sin20 (3b) ©v du dq q , E73 Sn = || Re ) cos 20 ; (3e)

ces valeurs, rappelons-le, ont été obtenues en supposant que la vitesse d'une particule du liquide ne depende que de sa distance à l’axe de rotation.

Prenons dans le liquide un point quelconque A de coordon- nées æ, y et imaginons une région infiniment petite de liquide 2 entourant ce point. Soit M un second point appartenant à la même

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région infiniment petite 2; nous pouvons supposer que les points A et M se trouvent tous les deux constamment dans le plan Oxy. Considérons la portion du liquide occupant la région @ à l’époque t; cette portion, à l’époque f--dt. prend une nouvelle forme et une nouvelle position entourant un point A’. Nous savons que l'on peut passer de © à 0’ en faisant subir à © une translation (44!) une certaine déformation (pure) et enfin une rotation élémentaire; cette rotation. on le voit, s'effectue autour d’un axe Az, dans notre cas actuel, axe issu du point A et parallèle à l'axe de rotation des cylindres; elle peut être obtenue en faisant tourner la portion Q d'un angle

a jee

autour de l’axe Az; le sens positif de cette rotation est opposé à celui dans lequel se déplacent les aiguilles d’une montre pour un observateur ayant les pieds en À et la tête en z. Nous designerons par s,, le quotient de la quantité précédente (4) par dt et nous l'appellerons la vitesse angulaire de rotation autour du point À. Sa valeur se calcule aisément en s'appuyant sur les formules (1) et (2); elle est la suivante: Ä eg ) (2) Sy = ( Zn DE js DS

Désignons par Aj la direction AM et par Ak une direction faisant des angles droits avec Aj et Az; nous supposerons que la disposition des axes Aj et Ak par rapport à Az est identique à celle que nous attribuons aux axes Ax et Ay par rapport à Az. Soient ß et @ les angles que fait la direction Aj avec les axes Ax et Ar respectivement; ces angles seront comptés positi- vement ou négativement suivant la règle générale adoptée plus haut. Nous aurons d’après ces définitions:

(6) a —fÿ 06),

dd do q (7) da si dt r ?

par conséquent

(8) dures

Portons encore une fois notre attention sur l’élément du liquide qui, à l'époque f, occupe la région infiniment petite 2 autour du point A. Rapportons aux axes Ajk la déformation que cet élément éprouve pendant l'intervalle de temps de # à # dt. Si la rotation de l'élément est inelue dans cette déformation, nous prendrons pour point de départ les équations (12) du $ 1; nous nous adresserons, au contraire, aux équations (14) du même paragraphe dans le cas la rotation a été explicitement exclue du calcul de la déforma- tion. Dans l’un cas comme dans l’autre, nous trouverons

e e, cos? ß + e, sin? ß —- c,, sin 6 cos ß (9a) e,— e, sin? ße, cos? ß c,, sin ß.cos ß (9b) Ca = (e, e,) sin 26 + c,, cos 2P. (9e) Ces équations deviennent, en vertu des équations (3) et (6), 1 (2 1 ) sin 2a er L 2a 2) 2\dr Y (10a) 1 (“1 1 ) in 2@ = À s x N (10b) dg __q == Le Ge à Cr = (2 = ) COS 24; (10e) il est done aisé de vérifier que l'on a e, cos? @ —- €, SIN? & (sin @ cos @ 0. (11) 8 5. Ecrivons les équations exprimant la loi de la relaxa-

tion à laquelle, suivant nos hypothèses fondamentales, la défor- mation véritable d'un fluide est constamment soumise. A l'effet d'éviter toute difficulté, rapportons cette déformation aux axes Ajk qui participent à la rotation instantanée de l'élément entourant le point considéré A. Nous aurons

der que E* 1 O* SE 5 TER (la): de ef L O*

F7 is RU JR (1b) dy Vas

de a Re (de)

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Les symboles &*, &,*, y,* dans ces équations, représentent les com- posantes de la déformation véritable du liquide autour du point À, rapportée aux axes Ajk; T est le temps de relaxation du liquide; @* désigne, d’une façon générale, la somme

(2a) EX LE LE (2b) és à (2e) om re

mais dans le cas actuel, on peut prendre:

(3a) 10 1 (8% Le*)

(3b) —4(e® Le

(Be) = (ete) ;

enfin le symbole d/dt est défini par la convention suivante: d 9 a 3 3

m Te a:

ce qui. dans le cas qui nous oceupe, se reduit A

d d (9) dt Ze a

A

ER °Y

ou encore, en vertu des équations (1) et (2) du $ 4. à

d quo (6) di r 0 Les équations (22) du $ 1. nous permettent d'écrire 3 I (Ta) 8 * &* cos? a + &* sin? a y,* sin @ cos a (7b) EX e* sin? a + &* cos’ @ + y,* sin @ cos @ (Te) Y = (&* &*) sin 2a + y,* cos 2a .

Caleulons la valeur de la dérivée de,*/dt en partant de l'équation (Ta); nous trouverons, en tenant compte de (Te),

de, * en A de AE I AU = cos? a + sin? & Er sin a cos a Yu:

Or la dérivée de,*/dt est évidemment égale à zéro; on a done, en vertu des équations (1) de ce paragraphe.

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E* 4 A a—+@*\ …, WEN: T -) cost & + (4, =? nn ) sin? & Ce; -% )sina cos «— da u ehr (9)

Les équations (11) et (8) du $ 4. ainsi que l'équation (Ta) de ce paragraphe permettent de transformer l’&quation (9); elle devient

Eee me) a ( u Z À (10) Cependant l'équation (3e) nous montre que l'on a EX EE 2 (8% 140; (11) nous aurons donc & Zu RE ( B0..g ) A VS dr FM Z

Jointe à l'équation (5) du $ 2., l'équation (12) nous permet d'écrire

eote 2y—"—+ Ho) (13) il faut choisir le signe supérieur dans le cas du mouvement du liquide dont le sens est indiqué dans la fig. 2. et le signe infé- rieur dans le cas opposé.

L'équation (13) est l'équation fondamentale du phénomène dé- couvert par Kundt et décrit dans l'introduction.

S 6. Il nous reste à calculer la valeur de la quantité

dq _9

dr A) au second membre de l’equation (13) du précédent paragraphe. Pour effectuer ce calcul, acceptons tout d’abord la théorie du mou- vement d'un liquide entre deux cylindres concentriques donnée par Sir G. G. Stokes en 1845!) et fondée sur les équations classiques du mouvement d’un fluide visqueux. Nous aurons alors?)

I; (2)

1) Cambr. Phil. Soc. Trans. VIIL 1845. Math. and phys. Papers, Vol. I, p. 102. *) Voir Bull. Int. de l’Ae. d. Se. de Cracovie pour 1901, p. 168.

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par conséquent

N dag 24 ‚2 = LE r 2 I TL u (9) 2! = Zr = Fe l’on désigne par A et B deux constantes arbitraires. Désignons par 6, et 6, les vitesses angulaires de la paroi intérieure (r—a) et de la paroi extérieure (r—b). Nous poserons (4) (a) ao 19(b)==bio, ; ces équations permettent de déterminer À et B. On trouve

dgq q 2b2 a? (o, —0,)

(2) dr r 2 (b? a?)

Si l’on adopte la théorie de la viscosité fondée sur l'hypothèse de la relaxation, on peut considérer les équations précédentes (3) et (5) comme des relations exactes approximativement. Pour mettre ce point en évidence examinons, par exemple, les résultats aux- quels est arrivé M. Zaremba dans sa deuxième !) Communication relative au problème qui nous occupe. La quantité (1) dont nous désirons calculer la valeur est identique à la quantité rdp/dr de M. Zaremba; par conséquent l'équation (7), page 612, du Mé- moire cité de M. Zaremba permettra aisément de déterminer la valeur de la quantité (1. On s'assure, en effectuant ce calcul, que l'expression exacte que l’on obtient pourra et devra?) être rempla- cée par la formule approchée que voici:

N dq gi CO

(6) dr pr

C désignant une constante arbitraire; or l'équation (6) est équiva- lente à la seconde équation du système (3).

Les équations (1) du $ 5. conduisent aux mêmes résultats. Pour le prouver observons tout d’abord que les deux premières équations du système (1), $ 5. donnent évidemment

dO* (7) FR 0 Cette équation est le résultat des hypothèses